单次遍历，等概率随机选取问题

又是一道概率问题，不过跟之前的题目一样，这也是一道非常简单的题目。

问题描述：假设我们有一堆数据（可能在一个链表里，也可能在文件里），数量未知。要求只遍历一次这些数据，随机选取其中的一个元素，任何一个元素被选到的概率相等。O(n) 时间，O(1) 辅助空间（n 是数据总数，但事先不知道）。

如果元素总数为 n，那么每个元素被选到的概率应该是 1/n。然而 n 只有在遍历结束的时候才能知道，在遍历的过程中，n 的值还不知道，可以利用乘法规则来逐渐凑出这个概率值。在《利用等概率 Rand5 产生等概率 Rand3》中提到过，如果要通过有限步概率的加法和乘法运算，最终得到分子为 1、分母为 n 的概率，那必须在某一次运算中引入一个 n 在分母上，而分母和分子上其他的因数则通过加法、乘法、约分等规则去除。

很容易能够想到这样一个简单的式子来凑出 1/n：

\begin{equation*} p_i=\frac{1}{i}\times\frac{i}{i+1}\times\frac{i+1}{i+2}\times\cdots\times\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n} \end{equation*}

下面用一段 Python 程序来实现这个过程，这里设计了一个类，叫做 RandomSelector，提供方法 AddItem，在遍历数据的时候把每个元素通过这个函数传进来，最后通过 SelectedItem 获取随机选择的元素。这么做主要是为了强调事先不知道元素的总数。

from random import Random

class RandomSelector:
  def __init__(self, rand=None):
    self._selectedItem = None
    self._count = 0
    self._rand = rand
    if self._rand is None:
      self._rand = Random()

  def SelectedItem(self):
    return self._selectedItem

  def Count(self):
    return self._count

  def AddItem(self, item):
    if self._rand.randint(0, self._count) == 0:
      self._selectedItem = item
    self._count += 1

在 Python 2.5 中，yield 不仅是个语句，更是一个表达式（详见 PEP 342 -- Coroutines via Enhanced Generators，查阅 Generator 和 Coroutine，中文叫做“生成器”和“协程”），利用 yield 可以把程序写的更简洁一些：

from random import Random

def RandomSelect(rand=None):
  selection = None
  count = 0
  if rand is None:
    rand = Random()
  while True:
    # Outputs the current selection and gets next item
    item = yield selection
    if rand.randint(0, count) == 0:
      selection = item
    count += 1

下面这段程序示意了如何调用 RandomSelect 函数来测验其随机效果：

# Sample code to use RandomSelect function
n = 10
repeat = 100000
occurrences = [0 for i in xrange(n)]
rand = Random()
for i in xrange(repeat):
  selector = RandomSelect(rand)
  selector.next()
  selection = None
  for item in xrange(n):
    selection = selector.send(item)
  occurrences[selection] += 1
print occurrences

十个元素，重复十万次，理论上每个元素会被选中恰好一万次。某次实验结果如下：

[10020, 10084, 10003, 10008, 9985, 10145, 9987, 9925, 9955, 9888]

可见每个元素被选中的次数相差不大，是等概率的。

如果用 C#，就可以利用 IEnumerable 来实现，比如：

public static bool RandomSelect(
    IEnumerable source,
    Random random,
    out TSource selectedItem)
{
    if (source == null)
    {
        throw new ArgumentNullException("source");
    }
    if (random == null)
    {
        random = new Random();
    }

    selectedItem = default(TSource);
    int count = 0;
    foreach (TSource item in source)
    {
        if (random.Next(++count) == 0)
        {
            selectedItem = item;
        }
    }

    return (count> 0);
}

核心代码也就那么两三行而已，时间复杂度为 O(n)（并且只遍历一次），空间复杂度为 O(1)。其中 Python 的 random.randint(x, y) 返回 [x, y] 之间的随机整数；C# 的 Random.Next(x) 返回 [0, x) 之间的随机整数。

看一下概率，如果最终被选取的是第 i 个元素（1 <= i <= n），那就必须是遍历到它的时候，恰好被选中（random.randint(0, i - 1) == 0 或者 Random.Next(i) == 0），并且从此之后都恰好再也没有被其他元素替换掉。这些事件彼此独立，计算概率的方法正好是上面提到的式子，最终的概率就是 1/n。

OK，问题解决了。结束之前再做个简单的扩展，改成等概率随机选取 m 个元素（可知每个元素被选中的概率都是 m/n）。

解决办法也非常简单，只要在上面的代码中，把 selectedItem（selection）改成一个长度为 m 的数组，稍作调整就可以了。

这里就给出 Python 的程序片段：

from random import Random

def RandomSample(m=1, rand=None):
  selection = []
  count = 0
  if rand is None:
    rand = Random()
  while True:
    # Outputs the current selection and gets next item
    item = yield selection
    if len(selection) < m:
      selection.append(item)
    else:
      idx = rand.randint(0, count)
      if idx < m:
        selection[idx] = item
    count += 1

时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(m)（不可能是 O(1) 的）。概率的计算方法为：

\begin{equation*} p_i=\left\{\begin{array}{ll} \frac{m}{i}\times\frac{i}{i+1}\times\frac{i+1}{i+2}\times\cdots\times\frac{n-1}{n}=\frac{m}{n} & i > m \\ 1\times\frac{m}{m+1}\times\frac{m+1}{m+2}\times\cdots\times\frac{n-1}{n}=\frac{m}{n} & i \leq m \end{array} \right. \end{equation*}

等概率问题通常都是比较简单的。下一次将会对这个问题做进一步的扩展，变成每个元素都有一个权重，要求任何一个元素被选取的概率正比于其权重。

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